$\left\{7^{\left(\frac{1}{2}\right)}+11^{\left(\frac{1}{6}\right)}\right\}^{824}$ के प्रसार में पूर्णांक पदों की संख्या है ..................

यदि $\left(\sqrt[4]{2}+\frac{1}{\sqrt[4]{3}}\right)^n$ के विस्तार में आरंभ से पाँचवे पद का अंत से पाँचवे पद से अनुपात $\sqrt{6}: 1$ है, तब आरंभ से तीसरा पद है :

$(1+x)^{n+5}$ के तीन क्रमागत पदों के गुणांक $5: 10: 14$ के अनुपात में है, तब $n=$

$x$ के घटते घात $(decreasing\,powers)$ में $\left(x^{1 / 2}+\frac{1}{2 x^{1 / 4}}\right)^n$ का प्रसार $(expansion)$ लिखिए. मान लें कि पहले तीन पदों के गुणांकों $(coefficients)$ से अंकगणितीय शंढी $(arithmetic \,progression)$ बनती है। तब प्रसार मे $s$ के पूर्णांक घात $(integer\,powers)$ वालें पदों की संख्य है - -

प्राकृत संख्या $m$, जिसके लिए $\left( x ^{ m }+\frac{1}{ x ^{2}}\right)^{22}$ के द्विपद प्रसार में $x$ का गुणांक $1540$ है

${({x^2} - x - 2)^5}$ के विस्तार में ${x^5}$ का गुणांक होगा